Tabanları aynı olan üslü gösterimlerle çarpma ve bölme

1 Neden Bu Konu?

🌍 Günlük Hayat Bağlamı

Bir bakteri kültürü her $20$ dakikada ikiye bölünür. Başlangıçta $2^5$ bakteri varsa, $1$ saat sonra bakteri sayısı nasıl ifade edilir? Ya da bir barajın su miktarı $10^7$ m³ iken birkaç yıl sonra $10^9$ m³ olmuşsa, su miktarı kaç katına çıkmıştır? Bu soruların cevabı, tabanları aynı olan üslü gösterimlerle çarpma ve bölme kurallarıdır.

Üslü gösterim, büyük ve küçük sayıların kısa yazımını sağlar. Şimdi bu gösterimin ilk gerçek işlem kuralını öğreneceğiz: tabanlar aynı olduğunda çarpma ve bölme nasıl yapılır?

📌 Tarihsel Bağlam: Arşimet'in Kum Hesabı

Arşimet, MÖ 3. yüzyılda evrendeki kum tanelerinin sayısını hesaplamaya çalışmıştır. O dönemde çok büyük sayıları ifade etmek için $10$'un kuvvetlerini kullanmıştır. Örneğin, $10^7$ tane kum tanesi içeren bir hacim $10^5$ ile çarpıldığında sonuç $10^{7+5} = 10^{12}$ olur. Arşimet'in kum hesabı, bugünkü üslü çarpma kuralının tarihsel kökenlerinden biridir. Aynı tabanlı büyüklüklerle işlem yaparken üslerin toplanması fikri, büyük sayıları yönetmeyi mümkün kılmıştır.

💡 Düşünelim

Kendine sor: $2^5$ ne anlama gelir? Bu, $5$ tane $2$'nin çarpımıdır: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. Peki $2^5 \cdot 2^3$ ifadesini açarak yazarsak kaç tane $2$ çarpılmış olur? Kutuları açmaya başlayalım.

2 Çarpma Kuralı: Tabanlar Aynı, Üsler Toplanır

📐 Kural

Tabanları aynı olan iki üslü ifade çarpılırken, üsler toplanır ve ortak taban aynen kalır.

Çarpma Kuralı $$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$$

Buradaki $x$ sıfırdan farklı bir gerçek sayıdır; $a$ ve $b$ ise tam sayılardır. Negatif üsler de bu kurala uygun çalışır: $x^{-n}$ ifadesi $\dfrac{1}{x^n}$ demektir.

🔍 Kuralın Arkasındaki Mantık

Kuralı ezberlemek yerine neden böyle olduğunu görelim. $2^5 \cdot 2^3$ ifadesini açarak yazalım:

Açık Yazım $$2^5 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^8$$

İlk çarpanda $5$ tane $2$, ikinci çarpanda $3$ tane $2$ var. Toplam $5+3=8$ tane $2$ çarpıldı. Bu yüzden üsler toplanır: $2^{5+3} = 2^8$.

1 Çözümlü Örnek 1

1

$5^4 \cdot 5^3$ ifadesinde tabanlar aynı, yani $x=5$ ortaktır. Üsler $4$ ve $3$'tür.

2

Çarpma kuralını uygula: $5^4 \cdot 5^3 = 5^{4+3}$.

3

Sonuç: $5^{4+3} = 5^7 = 78\,125$.

2 Çözümlü Örnek 2

1

$10^6 \cdot 10^4$ ifadesinde taban $10$ ortaktır. Üsler $6$ ve $4$'tür.

2

$10^6 \cdot 10^4 = 10^{6+4} = 10^{10}$.

3

$10^{10} = 10\,000\,000\,000$ yani $10$ milyardır.

⚠️ Dikkat

Bu kural yalnızca tabanlar aynı olduğunda geçerlidir. $2^3 \cdot 3^5$ gibi farklı tabanlı ifadelerde üsler toplanamaz.

3 Bölme Kuralı: Tabanlar Aynı, Üsler Çıkarılır

📐 Kural

Tabanları aynı olan iki üslü ifade bölünürken, üsler çıkarılır ve ortak taban aynen kalır.

Bölme Kuralı $$\dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}, \quad x \neq 0$$

Burada $x \neq 0$ olmalıdır, çünkü $0$ ile bölme yapılamaz. $a$ ve $b$ tam sayılardır.

🔍 Kuralın Arkasındaki Mantık

$\dfrac{2^8}{2^3}$ ifadesini açalım:

Açık Yazım ve Sadeleştirme $$\dfrac{2^8}{2^3} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^{8-3} = 2^5$$

Payda $8$ tane $2$, paydada $3$ tane $2$ var. Paydadan $3$ tane $2$ sadeleşir, geriye $8-3=5$ tane $2$ kalır. Üslerin çıkarılması bu sadeleştirmenin kısaltılmış hâlidir.

3 Çözümlü Örnek 3

1

$\dfrac{7^9}{7^5}$ ifadesinde taban $7$ ortaktır. Üsler $9$ ve $5$'tir.

2

Bölme kuralını uygula: $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^{9-5} = 7^4$.

3

$7^4 = 2401$.

4 Çözümlü Örnek 4

1

$\dfrac{10^8}{10^8}$ ifadesinde taban ve üsler aynıdır.

2

Kural: $\dfrac{10^8}{10^8} = 10^{8-8} = 10^0$.

3

Herhangi bir sayının bir kuvvetinin kendisine bölümü $1$ olduğu için $10^0 = 1$ olmalıdır. Bu, $a^0 = 1$ tanımıyla uyumludur (burada $a \neq 0$).

⚠️ Kritik

$0$'ın bölme işleminde paydada kullanılamayacağını unutma: $x \neq 0$ şartı bölme kuralı için zorunludur.

4 Negatif Üslerde Çarpma ve Bölme

Negatif üsler aynı tabanlı çarpma ve bölme kurallarının doğal bir parçasıdır. Üsler toplanırken veya çıkarılırken negatif sayılar da işaretiyle birlikte işleme girer.

📌 Kuralın Negatif Üslere Uygulanışı

$x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$ olduğu için, $a$ ve $b$ negatif olsa bile $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ ve $\dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ kuralları aynen geçerlidir.

5 Çözümlü Örnek 5

1

$3^{-2} \cdot 3^5$ ifadesinde taban $3$ ortaktır. Üsler $-2$ ve $5$'tir.

2

Üsleri topla: $-2 + 5 = 3$. Yani $3^{-2} \cdot 3^5 = 3^3$.

3

Sonuç: $3^3 = 27$.

Kontrol: $3^{-2} = \dfrac{1}{9}$ ve $3^5 = 243$. Çarpımları $\dfrac{243}{9} = 27 = 3^3$. Doğru.

6 Çözümlü Örnek 6

1

$\dfrac{2^3}{2^7}$ ifadesinde taban $2$ ortaktır. Üsler $3$ ve $7$'dir.

2

Üsleri çıkar: $3 - 7 = -4$. Yani $\dfrac{2^3}{2^7} = 2^{-4}$.

3

Negatif üs tanımı gereği $2^{-4} = \dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16}$.

Negatif Üslü Örnek Özet $$5^{-4} \cdot 5^{9} = 5^{5} = 3125, \qquad \dfrac{10^2}{10^6} = 10^{-4} = \dfrac{1}{10^4}$$

💡 Karar Becerisi

Karşına bir çarpma veya bölme geldiğinde ilk soru şu olmalı: "Tabanlar aynı mı?" Eğer evetse kurala başvur; hayırsa bu bölümdeki kuralı kullanamazsın. Bu kararı vermek, işlem hatasının önüne geçen en önemli adımdır.

5 🔍 Karar Verme Örnekleri

Bu bölümde, öğrendiğin kuralın beceri temelli sorularda nasıl karşına çıkacağını göreceğiz. Şıklı soru yok; bunun yerine kural seçimi ve uygulaması üzerine düşünüyoruz.

🎯 Durum 1 — Bakteri Üremesi

Durum: Bir laboratuvarda bir bakteri türü her saat $2$ katına çıkıyor. Başlangıçta $2^6$ bakteri bulunuyor. Bilim insanı, 4 saat sonra kültürde ne kadar bakteri olduğunu hesaplamak istiyor.

İstenen: 4 saat sonraki bakteri sayısının üslü gösterimini bulunuz.

Kural seçimi: Burada bakteri her saat $2$ ile çarpılıyor, yani 4 saatte $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$ katına çıkıyor. Başlangıçtaki $2^6$ ile bu $2^4$ aynı tabanlı iki ifadedir. Çarpma kuralı geçerlidir: $2^6 \cdot 2^4 = 2^{6+4} = 2^{10}$.

Neden başka kural değil? Toplama kuralı kullanılmaz çünkü büyüme, toplama değil çarpma yoluyla ilerler. Tabanlar aynı olduğu için bölme de söz konusu değildir.

Uygulama: $2^6 \cdot 2^4 = 2^{10}$ sonucu, 4 saat sonra $2^{10} = 1024$ bakteri bulunacağını gösterir.

🎯 Durum 2 — Baraj Su Miktarı

Durum: Bir barajın su miktarı yıllar içinde $10^7$ m³'ten $10^{10}$ m³'e çıkmıştır. Su yönetimi ekibi, bu artışın kaç kat olduğunu hesaplayacaktır.

İstenen: Su miktarının kaç katına çıktığını bulunuz.

Kural seçimi: "Kaç katına çıktı?" sorusu, yeni değerin eski değere bölünmesini gerektirir. Tabanlar aynı olduğu için bölme kuralı kullanılır: $\dfrac{10^{10}}{10^7} = 10^{10-7} = 10^3$.

Neden başka kural değil? Kat karşılaştırması bölme demektir. Tabanlar aynı olduğundan üsler çıkarılır. Çarpma yapmak burada doğru olmaz.

Uygulama: $10^3 = 1000$ katına çıkmıştır.

🎯 Durum 3 — Seyreltme (Negatif Üs)

Durum: Bir çözelti her aşamada $10$ kat seyreltilmektedir. Başlangıçtaki derişim $10^{-2}$ mol/L iken, 3 kez seyreltme yapılırsa son derişim nedir?

İstenen: Son derişimi üslü gösterimle ifade ediniz.

Kural seçimi: Her seyreltme $10^{-1}$ çarpanıyla çarpma anlamına gelir. 3 kez seyreltme $10^{-1} \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-1} = 10^{-3}$ çarpanıdır. Başlangıç $10^{-2}$ ile çarpılır: $10^{-2} \cdot 10^{-3} = 10^{(-2)+(-3)} = 10^{-5}$.

Neden başka kural değil? Seyreltme bir kısmı azaltma olduğundan çarpma kuralı uygulanır ve üsler negatif olduğu için toplama ile üs daha da küçülür. Bölme kuralı burada gerekli değildir.

Uygulama: Son derişim $10^{-5}$ mol/L'dir.

🧠 Öz-Yönlendirme

Bu bilgiyi bir beceri temelli soruda kullanmam istenseydi hangi kurala bakar, nereden başlardım? Cevap: Önce bağlamda hangi işlem olduğuna (çoğalma → çarpma, kat karşılaştırması → bölme) bakardım. Ardından tabanların aynı olduğunu doğrulayıp üsleri toplar veya çıkarırdım.

6 Kuralların Özeti

Bu tablo, konunun tüm kurallarını tek bir bakışta özetler. Tabanların aynı olması şartına dikkat et.

İşlem	Kural	Şart	Örnek
Çarpma	$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$	$x$ ortak taban, $x \neq 0$ gerektirmez ama genel gerçek sayı	$4^3 \cdot 4^5 = 4^8$
Bölme	$\dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$	$x \neq 0$ şarttır; $a,b \in \mathbb{Z}$	$\dfrac{6^7}{6^3} = 6^4$
Negatif üsle çarpma	$x^a \cdot x^{-b} = x^{a+(-b)} = x^{a-b}$	$x$ ortak taban	$3^5 \cdot 3^{-2} = 3^3$
Negatif üsle bölme	$\dfrac{x^a}{x^{-b}} = x^{a-(-b)} = x^{a+b}$	$x \neq 0$	$\dfrac{2^4}{2^{-3}} = 2^7$
Aynı ifadenin bölümü	$\dfrac{x^a}{x^a} = x^0 = 1$	$x \neq 0$	$\dfrac{9^6}{9^6} = 1$

🚫 Kapsam Dışı

Bu bölümde anlatılmayanlar: $x^a \cdot y^a$ (üsleri aynı tabanları farklı çarpma), $\dfrac{x^a}{y^a}$ (üsleri aynı tabanları farklı bölme) ve $(x^a)^b$ (üssün üssü). Bu konular ayrı kazanımların kapsamındadır. Şimdi yalnızca tabanları aynı olan durumlara odaklanıyoruz.

7 Sık Yapılan Hatalar ve Doğruları

Bu hatalar, konunun en kritik tuzaklarıdır. Tabloyu dikkatle incele ve her hatanın neden yanlış olduğunu kavra.

Hata No	Hatalı Düşünce / İşlem	Doğrusu
1	$2^3 \cdot 2^5 = 2^{15}$ (üsleri çarpmak)	$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$ (üsler toplanır)
2	$\dfrac{7^8}{7^2} = 7^{8+2} = 7^{10}$ (bölmede üsleri toplamak)	$\dfrac{7^8}{7^2} = 7^{8-2} = 7^6$ (üsler çıkarılır)
3	Tabanlar farklı iken üsleri toplamak: $2^3 \cdot 3^4 = 6^{7}$	$2^3 \cdot 3^4$ bu kural kapsamında birleştirilemez; çarpma kuralı yalnızca ortak taban için geçerlidir.
4	$\dfrac{0^5}{0^2} = 0^3 = 0$ sanmak	$0$ ile bölme yapılamaz. Paydada $0$ tabanı olamaz: $x \neq 0$ şartı ihlal edilir.
5	$a^{-n}$ ifadesini negatif sayı sanmak	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ pozitif bir değerdir. Negatif üs, sayının negatif olduğu anlamına gelmez.
6	$\dfrac{x^a}{x^b} = x^{b-a}$ (üslerin sırasını ters çevirmek)	$\dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ yazılır; payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.

⛑️ Özellikle Dikkat: $(-a)^n$ ile $-a^n$ Farkı

Bu bölümde tabanlar aynı olduğu için $(-a)$ tabanıyla çalışırken parantezin yerine dikkat etmelisin. Örneğin $(-2)^3 = -8$ iken $-2^3 = -8$; ancak $(-2)^4 = 16$ iken $-2^4 = -16$ olur. Parantez tabanın işaretini ve kuvvetin tamamını kapsar. Çarpma ve bölmede tabanı doğru belirlemek için parantezleri kontrol et.

8 Alıştırmalar

Aşağıdaki soruları çözerek kendini test et. Her sorunun çözümü hemen altında görünür; önce kendin dene, sonra çözüme bak.

Soru 1.

$3^2 \cdot 3^6$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: Tabanlar aynı ($3$), üsler toplanır: $3^{2+6} = 3^8 = 6561$.

Soru 2.

$\dfrac{8^7}{8^3}$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: Tabanlar aynı ($8$), üsler çıkarılır: $8^{7-3} = 8^4 = 4096$.

Soru 3.

$10^4 \cdot 10^{-6}$ ifadesinin eşitini pozitif üsle yazınız.

Çözüm: $10^{4+(-6)} = 10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100}$.

Soru 4.

$\dfrac{5^{-3}}{5^{-8}}$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: $\dfrac{5^{-3}}{5^{-8}} = 5^{-3-(-8)} = 5^{5} = 3125$.

Soru 5.

$2^4 \cdot 2^{-4}$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: $2^{4+(-4)} = 2^0 = 1$.

Soru 6.

$\dfrac{9^{10}}{9^{12}}$ ifadesinin sonucu nedir?

Çözüm: $9^{10-12} = 9^{-2} = \dfrac{1}{9^2} = \dfrac{1}{81}$.

Soru 7.

$6^3 \cdot 6^0 \cdot 6^2$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: $6^{3+0+2} = 6^5 = 7776$. ($6^0 = 1$ olduğu için sonucu değiştirmez.)

Soru 8.

$\dfrac{2^{12}}{2^5 \cdot 2^3}$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: Önce payda: $2^5 \cdot 2^3 = 2^{8}$. Sonra bölme: $\dfrac{2^{12}}{2^8} = 2^{12-8} = 2^4 = 16$.

Soru 9.

$7^5 \cdot 7^{-5} \cdot 7^2$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: $7^{5+(-5)+2} = 7^{2} = 49$. (İlk iki terimin çarpımı $7^0 = 1$ yapar.)

Soru 10.

$\dfrac{4^9}{4^9}$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: $4^{9-9} = 4^0 = 1$.

Soru 11.

$11^3 \cdot 11^{-3} \cdot 11^6$ ifadesinin sonucunu bulunuz.

Çözüm: $11^{3+(-3)+6} = 11^6 = 1\,771\,561$.

Soru 12.

$\dfrac{3^{20}}{3^{17}} \cdot 3^{-2}$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: $\dfrac{3^{20}}{3^{17}} = 3^{20-17} = 3^3$. Sonra $3^3 \cdot 3^{-2} = 3^{3+(-2)} = 3^1 = 3$.

9 Test 1 — Klasik Sorular (12 Soru)

Bu test, doğrudan kural bilgisi ve alıştırma düzeyinde sorusu içerir. Tabanlar aynı olduğunda çarpma ve bölme kurallarını olduğu gibi uygula.

Soru 1Cevap: B

$5^3 \cdot 5^4$ ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

Tabanlar aynı: $5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$. Doğru cevap B.

Soru 2Cevap: A

$\dfrac{8^9}{8^5}$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

Tabanlar aynı: $\dfrac{8^9}{8^5} = 8^{9-5} = 8^4$. Doğru cevap A.

Soru 3Cevap: C

$10^6 \cdot 10^{-2}$ ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$10^6 \cdot 10^{-2} = 10^{6+(-2)} = 10^4$. Doğru cevap C.

Soru 4Cevap: B

$\dfrac{6^{12}}{6^{12}}$ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$\dfrac{6^{12}}{6^{12}} = 6^{12-12} = 6^0 = 1$. Doğru cevap B.

Soru 5Cevap: D

$4^{-3} \cdot 4^7$ ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$4^{-3+7} = 4^4$. Doğru cevap D.

Soru 6Cevap: E

$\dfrac{9^5}{9^{9}}$ ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$\dfrac{9^5}{9^9} = 9^{5-9} = 9^{-4} = \dfrac{1}{9^4}$. Doğru cevap E. (D ve E aynı görünüyordu, düzeltildi: E doğru seçenektir.)

Soru 7Cevap: C

$2^1 \cdot 2^3 \cdot 2^4$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

$2^{1+3+4} = 2^8$. Doğru cevap C.

Soru 8Cevap: A

$\dfrac{10^8}{10^{12}}$ ifadesinin sonucu nedir?

Çözüm

$10^{8-12} = 10^{-4} = \dfrac{1}{10^4}$. Doğru cevap A.

Soru 9Cevap: D

$3^{-2} \cdot 3^{-3} \cdot 3^4$ ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$-2+(-3)+4 = -1$. Yani $3^{-1} = \dfrac{1}{3}$. Doğru cevap D.

Soru 10Cevap: B

$\dfrac{11^5}{11^8}$ ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

$11^{5-8} = 11^{-3} = \dfrac{1}{11^3}$. Doğru cevap B.

Soru 11Cevap: C

$7^4 \cdot 7^{-4}$ ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$7^{4+(-4)} = 7^0 = 1$. Doğru cevap C.

Soru 12Cevap: E

$\dfrac{2^{15}}{2^9} \cdot 2^{-3}$ ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$\dfrac{2^{15}}{2^9} = 2^{6}$; sonra $2^{6} \cdot 2^{-3} = 2^{3}$. Doğru cevap E.

Cevap Anahtarı

1:B

2:A

3:C

4:B

5:D

6:E

7:C

8:A

9:D

10:B

11:C

12:E

10 Test 2 — Geçiş Soruları (12 Soru)

Bu test, her soru bir bağlam içinde kuralı uygulatır. Klasik soru yoktur; her soruda bağlamdaki işlemi doğru kurala bağlaman gerekir.

Soru 1Cevap: B

Bir bakteri kültürü her 20 dakikada ikiye bölünüyor. Başlangıçta $2^5$ bakteri varsa, 1 saat (3 nesil) sonra bakteri sayısını üslü gösterimle ifade ediniz.

Çözüm

Her nesil $2$ ile çarpılır; 3 nesil $2^3$ çarpanıdır. Başlangıç $2^5$, sonuç $2^5 \cdot 2^3 = 2^8$. Doğru cevap B.

Soru 2Cevap: C

Bir barajın su miktarı $10^7$ m³ iken 5 yıl sonra $10^9$ m³ olmuştur. Su miktarı kaç katına çıkmıştır?

Çözüm

Kat karşılaştırması: $\dfrac{10^9}{10^7} = 10^{9-7} = 10^2 = 100$ kat. Doğru cevap C.

Soru 3Cevap: A

Bir mikroskop önce $10^2$ kat, ardından $10^3$ kat büyütme yapıyor. Toplam büyütme katsayısı nedir?

Çözüm

Üst üste büyütme çarpma demektir: $10^2 \cdot 10^3 = 10^{2+3} = 10^5$. Doğru cevap A.

Soru 4Cevap: D

Dijital veri depolama birimleri $2$'nin kuvvetleriyle ifade edilir. $2^{10}$ byte'lık bir dosyadan $2^4$ tane bulunan bir sunucunun toplam depolama alanı kaç byte'tır?

Çözüm

$2^4$ tane dosya olduğundan toplam: $2^{10} \cdot 2^4 = 2^{14}$. Doğru cevap D.

Soru 5Cevap: B

Bir şehrin nüfusu başlangıçta $2^8$ kişidir. Her yıl nüfus $2$ katına çıkıyorsa, 2 yıl sonra nüfusu üslü gösterimle ifade ediniz.

Çözüm

2 yıl: $2$ kat × $2$ kat = $2^2$. Başlangıç: $2^8$. Sonuç: $2^8 \cdot 2^2 = 2^{10}$. Doğru cevap B.

Soru 6Cevap: D

$10^{12}$ byte veri, her biri $10^3$ byte'lık dosyalara bölünüyor. Kaç dosya elde edilir?

Çözüm

Bölme işlemi: $\dfrac{10^{12}}{10^3} = 10^{12-3} = 10^9$ dosya. Doğru cevap D.

Soru 7Cevap: C

Arşimet'in kum hesabında $10^8$ kum tanesi $10^3$ kaba eşit olarak dağıtılıyor. Her kaba kaç kum tanesi düşer?

Çözüm

$\dfrac{10^8}{10^3} = 10^{8-3} = 10^5$. Doğru cevap C.

Soru 8Cevap: E

Bir LED ışık kaynağının şiddeti $3^5$ birimdir. Başka bir kaynağın şiddeti $3^2$ birimdir. İlk kaynak, ikincinin kaç katıdır?

Çözüm

Kat: $\dfrac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27$ kat. Doğru cevap E.

Soru 9Cevap: A

Bir bakteri kültüründe $5^6$ bakteri bulunmaktadır. Antibiyotik uygulaması sonucu bakteri sayısı $5^3$ kat azalıyor. Kalan bakteri sayısı nedir?

Çözüm

Azalma bölme: $\dfrac{5^6}{5^3} = 5^{6-3} = 5^3$. Doğru cevap A.

Soru 10Cevap: B

Bir karenin kenar uzunluğu $4^3$ cm'dir. Başka bir karenin kenar uzunluğu $4^5$ cm'dir. Bu iki kenar uzunluğu çarpılırsa sonuç üslü gösterimle nedir?

Çözüm

$4^3 \cdot 4^5 = 4^{3+5} = 4^8$. Doğru cevap B.

Soru 11Cevap: D

Bir fabrikada günlük üretim $2^7$ adettir. 4 günlük üretim toplamda kaç adet olur? (4, $2^2$ olarak ifade edilir.)

Çözüm

$2^7 \cdot 2^2 = 2^{9}$. Doğru cevap D.

Soru 12Cevap: C

Bir uydunun alçak yörüngedeki hızı $8^6$ km/sa, yüksek yörüngedeki hızı $8^3$ km/sa'dir. Alçak yörünge hızı yüksek yörünge hızının kaç katıdır?

Çözüm

$\dfrac{8^6}{8^3} = 8^{6-3} = 8^3$. Doğru cevap C.

Cevap Anahtarı

1:B

2:C

3:A

4:D

5:B

6:D

7:C

8:E

9:A

10:B

11:D

12:C

11 Test 3 — Beceri Temelli Sorular (12 Soru)

Bu test, her soru gerçek yaşam bağlamında kuralı kullanmanı ister. Bağlamdan çıkarım yaparak hangi işlemin geçerli olduğuna karar vermelisin.

Soru 1Cevap: B

Bir sosyal medya videosunun izlenme sayısı her saat $10$ kat artıyor. Başlangıçta $10^4$ izlenme varsa, 3 saat sonra izlenme sayısını üslü gösterimle ifade ediniz.

Çözüm

Her saat $10$ kat → 3 saatte $10^3$ çarpanı. Başlangıç $10^4$ → $10^4 \cdot 10^3 = 10^7$. Doğru cevap B.

Soru 2Cevap: D

Bir laboratuvarda bir çözeltinin derişimi her seyreltmede yarıya düşüyor. Başlangıç derişimi $2^{-3}$ mol/L ise, 2 seyreltme sonra derişim ne olur?

Çözüm

Her seyreltme $2^{-1}$ çarpanı. 2 seyreltme: $2^{-1} \cdot 2^{-1} = 2^{-2}$. Başlangıç: $2^{-3}$. Sonuç: $2^{-3} \cdot 2^{-2} = 2^{-5}$. Doğru cevap D.

Soru 3Cevap: A

Bir veri merkezinde Sunucu X saatte $2^{11}$ byte veri üretiyor, Sunucu Y ise $2^7$ byte üretiyor. Sunucu X, Sunucu Y'nin kaç katı veri üretiyor?

Çözüm

Kat: $\dfrac{2^{11}}{2^7} = 2^{11-7} = 2^4 = 16$ kat. Doğru cevap A.

Soru 4Cevap: C

Bir optik cihaz, $5^3$ kat büyütme yapan bir objektif lens ile $5^2$ kat büyütme yapan bir oküler lens kullanıyor. Toplam büyütme nedir?

Çözüm

Toplam büyütme: $5^3 \cdot 5^2 = 5^{3+2} = 5^5$. Doğru cevap C.

Soru 5Cevap: D

Bir sabit diskin toplam kapasitesi $2^{30}$ byte'tır. Bu disk, her biri $2^{10}$ byte'lık fotoğraf dosyalarıyla dolduruluyor. Kaç fotoğraf depolanabilir?

Çözüm

$\dfrac{2^{30}}{2^{10}} = 2^{30-10} = 2^{20}$ fotoğraf. Doğru cevap D.

Soru 6Cevap: B

Bir gölün yüzey alanı $10^6$ m²'dir. Kuraklık nedeniyle göl yüzeyi her yıl $10^2$ m² küçülüyor. 4 yıl sonra göl yüzey alanı kaç m² kalır?

Çözüm

Küçülme doğrusal olarak verilmiş: $4$ yıl × $10^2$ m² = $4 \cdot 10^2$ m² kayıp. Bu soru toplama/çıkarma ile ilgilidir; üslü çarpma/bölme kuralı doğrudan uygulanmaz. Doğru cevap B.

Soru 7Cevap: E

Bir DNA molekülünün bir bölümünde nükleotid sayısı $2^3$ ile ifade ediliyor. Bu bölüm $2^5$ kez kopyalanırsa, toplam nükleotid sayısı nasıl ifade edilir?

Çözüm

$2^3$ nükleotid, $2^5$ kez kopyalanıyor: $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$. Doğru cevap E.

Soru 8Cevap: C

Bir ekosistemdeki belirli bir türün popülasyonu $3^6$ bireydir. Her nesilde popülasyon $3$ katına çıkıyorsa, 2 nesil sonra popülasyon kaç olur?

Çözüm

2 nesil: $3$ kat × $3$ kat = $3^2$. Başlangıç: $3^6$. Sonuç: $3^6 \cdot 3^2 = 3^8$. Doğru cevap C.

Soru 9Cevap: A

Astronomide bir galaksideki yıldız sayısı $10^{11}$, başka bir galaksideki yıldız sayısı $10^8$'dir. İlk galaksideki yıldız sayısı ikincinin kaç katıdır?

Çözüm

$\dfrac{10^{11}}{10^8} = 10^{11-8} = 10^3 = 1000$ kat. Doğru cevap A.

Soru 10Cevap: B

Bir kimyasal reaksiyonun hızı $4^5$ mol/s, başka bir reaksiyonun hızı $4^2$ mol/s'dir. Hızlı reaksiyon, yavaş reaksiyonun kaç katıdır?

Çözüm

$\dfrac{4^5}{4^2} = 4^{5-2} = 4^3 = 64$ kat. Doğru cevap B.

Soru 11Cevap: D

Bir bilim insanı, bir deneyde sıvı miktarını her seferinde $10$ kat seyreltiyor. Başlangıçta $10^{-1}$ L madde varsa, 4 seyreltme sonra madde miktarı nedir?

Çözüm

4 seyreltme: $10^{-4}$ çarpanı. Başlangıç: $10^{-1}$. Sonuç: $10^{-1} \cdot 10^{-4} = 10^{-5}$. Doğru cevap D.

Soru 12Cevap: E

Bir telekomünikasyon ağında bir veri paketi $2^{14}$ byte boyutundadır. Bu paket, her biri $2^6$ byte'lık eşit parçalara bölünüyor. Kaç parça elde edilir?

Çözüm

$\dfrac{2^{14}}{2^6} = 2^{14-6} = 2^8$ parça. Doğru cevap E.

Cevap Anahtarı

1:B

2:D

3:A

4:C

5:D

6:B

7:E

8:C

9:A

10:B

11:D

12:E