Köklü gösterimlerin eşleniğini bulma (paydayı rasyonel yapma)

1 Neden Bu Konu?

🌍 Günlük Hayat Bağlamı

Fizikte serbest düşme süresi hesaplanırken şu formül kullanılır:

Serbest Düşme Süresi $$ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} $$

Örneğin yüksekliği $h$ metre olan bir cisim serbest bırakıldığında, süre $t = \sqrt{2h/g}$ saniye bulunur. Bu ifade farklı yükseklikler için hesaplanırken paydada $g$ gibi köklü bir büyüklük olmasa da bazen payda $\sqrt{2}$ veya $\sqrt{3}$ şeklinde çıkabilir. Bu durumda sonucu daha anlaşılır kılmak için paydayı rasyonel yaparız.

Neden paydayı rasyonel yapmak isteriz? Paydada köklü bir sayı olduğunda:

Ondalık hesaplamalarda bölme işlemi zorlaşır.
İki benzer ifadeyi karşılaştırmak karmaşık olur.
Matematiksel yazım standardında payda genellikle rasyonel sayı olarak bırakılır.

📌 Temel Fikir

Paydayı rasyonel yapmak için kesrin değerini değiştirmeyen 1 ile çarpma işlemini kullanırız. Yani pay ve paydayı aynı ifadeyle çarparız.

Bu konuda iki ana durum vardır:

Paydada yalnızca tek terimli köklü ifade (ör. $\sqrt{7}$)
Paydada iki terimli ifade (ör. $\sqrt{5}+1$ veya $\sqrt{6}-\sqrt{2}$)

Her ikisini de adım adım öğreneceğiz.

2 Tek Terimli Paydayı Rasyonel Yapma

⚖️ Temel Kural

$a > 0$ olmak üzere,

Çarpma Kuralı $$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a $$

Bu kural, karekökün tanımından gelir: $\sqrt{a}$, karesi $a$ olan sayıdır.

Paydasında tek terimli $\sqrt{a}$ bulunan bir kesri rasyonel yapmak için pay ve paydayı $\sqrt{a}$ ile çarparız. Bu işlem kesrin değerini değiştirmez çünkü $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=1$'dir.

🧪 Örnek 1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapalım.

Çözüm $$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

🧪 Örnek 2

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapalım.

Çözüm $$ \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} $$

🧪 Örnek 3

$\frac{2}{3\sqrt{5}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapalım.

Çözüm $$ \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{2\sqrt{5}}{15} $$

Burada paydadaki $3$ zaten rasyonel olduğu için yalnızca $\sqrt{5}$ ile çarptık.

⚠️ Dikkat

$\sqrt{a}$ ifadesinin tanımlı olması için $a \geq 0$ olmalıdır. Eğer paydada $\sqrt{a}$ varsa ve $a<0$ ise ifade gerçek sayılarda tanımsızdır. Bu konu boyunca $a,b > 0$ kabul edeceğiz.

3 İki Terimli Paydayı Rasyonel Yapma

⚖️ Temel Kural

$a > 0$, $b > 0$ olmak üzere,

İki Terimli Çarpma $$ (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b $$

Bu kural, iki kare farkı özdeşliğinin $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ uygulamasıdır. Burada $x=\sqrt{a}$ ve $y=\sqrt{b}$ alınır.

Paydada iki terim varsa, paydanın eşleniği ile payı ve paydayı çarparız.

📖 Eşlenik Tanımı

İki terimli $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ifadesinin eşleniği $\sqrt{a} - \sqrt{b}$; $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ ifadesinin eşleniği ise $\sqrt{a} + \sqrt{b}$'dir. Yani aradaki işaret ters çevrilir.

🧪 Örnek 1

$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapalım.

Çözüm $$ \frac{1}{\sqrt{3}+1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} $$

🧪 Örnek 2

$\frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapalım.

Çözüm $$ \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{7-2} = \sqrt{7}+\sqrt{2} $$

🧪 Örnek 3

Paydada bir kök ve bir tamsayı olduğunda da aynı mantık işler. $\frac{4}{3+\sqrt{5}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapalım.

Çözüm $$ \frac{4}{3+\sqrt{5}} = \frac{4}{3+\sqrt{5}} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{4(3-\sqrt{5})}{9-5} = 3-\sqrt{5} $$

⚠️ Dikkat

Eşlenik seçerken yalnızca iki terimin arasındaki işaret değişir. Terimlerin kendileri değişmez. Örneğin $\sqrt{5}-2$ ifadesinin eşleniği $-\sqrt{5}+2$ değil, $\sqrt{5}+2$'dir.

4 Eşlenik ile Paydayı Rasyonel Yapma Aynı Şey midir?

Hayır, aynı şey değildir. Bu iki kavram şöyle ayrılır:

Durum	Eşlenik	Paydayı Rasyonel Yapma
Tek terimli payda ör. $\frac{1}{\sqrt{7}}$	Eşlenik yine $\sqrt{7}$'dir (kendisi)	Pay ve paydayı $\sqrt{7}$ ile çarparak payda $7$ yapılır.
İki terimli payda ör. $\frac{1}{\sqrt{7}+2}$	Eşlenik $\sqrt{7}-2$'dir (işaret değişir)	Pay ve paydayı $\sqrt{7}-2$ ile çarparak payda $7-4=3$ yapılır.

💡 Özet

Tek terimlide eşlenik kendisidir; iki terimlide eşlenik ters işaretlisidir. Paydayı rasyonel yapma işlemi her durumda eşlenik kullanılarak yapılır; dolayısıyla eşlenik aracıdır, paydayı rasyonel yapma ise amaçtır.

🧪 Karşılaştırma

Tek terimli: $\frac{3}{\sqrt{5}}$ → eşlenik $\sqrt{5}$ → $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

İki terimli: $\frac{3}{\sqrt{5}+1}$ → eşlenik $\sqrt{5}-1$ → $\frac{3(\sqrt{5}-1)}{4}$

5 Kuralların Özeti

Aşağıdaki tablo, paydayı rasyonel yaparken kullanılacak tüm kalıpları toplu gösterir.

Payda Biçimi	Çarpılacak İfade	Payda Sonucu	Örnek Sonuç
$\sqrt{a}$	$\sqrt{a}$	$a$	$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$b\sqrt{a}$	$\sqrt{a}$	$b \cdot a$	$\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
$\sqrt{a}+\sqrt{b}$	$\sqrt{a}-\sqrt{b}$	$a-b$	$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$
$\sqrt{a}-\sqrt{b}$	$\sqrt{a}+\sqrt{b}$	$a-b$	$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$
$c+\sqrt{a}$	$c-\sqrt{a}$	$c^2-a$	$\frac{1}{3+\sqrt{5}} = \frac{3-\sqrt{5}}{4}$
$c-\sqrt{a}$	$c+\sqrt{a}$	$c^2-a$	$\frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{3+\sqrt{5}}{4}$

📌 Geçerlilik Koşulları

Tüm bu kurallar $a>0$, $b>0$ ve $c$ gerçek sayı, ayrıca payda sıfır olmayacak şekilde geçerlidir. Örneğin $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ paydası için $a \neq b$ olmalıdır ki payda sıfırlanmasın.

6 🔍 Karar Verme Örnekleri

Bu bölümde, öğrendiğin kuralların beceri temelli sorularda nasıl karşına çıkacağını göreceksin. Şıklı soru yok; yalnızca karar verme süreçleri var.

🧭 Senaryo 1 — Fizik: Serbest Düşme

Durum: Bir öğrenci, serbest düşme süresini $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ formülüyle hesaplıyor. $h=10$ m ve $g=9{,}8$ m/s² için süreyi bulan programın çıktısı $\frac{2}{\sqrt{5}}$ saniye oluyor. Öğrenci süreyi yaklaşık olarak söylemek istiyor.

İstenen: Paydayı rasyonel yaparak sürenin yaklaşık değerini kolayca bulmak.

Kural seçimi: Payda tek terimli $\sqrt{5}$ olduğu için eşlenik kendisidir. $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ifadesini $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ ile çarpıp paydayı $5$ yaparız. İki terimli kuralı burada geçerli değildir çünkü paydada tek terim var.

Uygulama: $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx \frac{2 \cdot 2{,}236}{5} \approx 0{,}894$ saniye.

🧭 Senaryo 2 — Geometri: Kare Arazi Çevresi

Durum: Alanı $18$ m² olan kare şeklindeki bir araziye çit yapılacak. Bir kenar uzunluğu $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ m, çevre ise $12\sqrt{2}$ m. Çitin metresi $7{,}5$ TL olduğuna göre toplam maliyet bulunmak isteniyor. Hesaplama sonucu $\frac{84\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$ TL çıkıyor.

İstenen: Maliyeti rasyonel paydaya dönüştürüp yaklaşık değer bulmak.

Kural seçimi: Paydada iki terim var: $\sqrt{2}+1$. Bu yüzden eşlenik $\sqrt{2}-1$ kullanılır. Tek terimli kural burada işe yaramaz. Çarpmada $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = 2-1 = 1$ olur.

Uygulama: $\frac{84\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{84\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{1} = 84\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = 84(2-\sqrt{2}) = 168 - 84\sqrt{2} \approx 49{,}2$ TL.

🧭 Senaryo 3 — Mühendislik: Kesirli Formülde Yaklaşık Hesap

Durum: Bir devrede akım $I = \frac{10}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ amper olarak ölçülüyor. Akımın yaklaşık değeri, devre elemanı üreticisinin tablolarında kullanılacak.

İstenen: Paydayı rasyonel yaparak akımı basitleştirmek.

Kural seçimi: Payda iki terimli olduğu için eşlenik $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ kullanılır. Payda $(6-2)=4$ olur. Tek terimli kural uygulanmaz.

Uygulama: $I = \frac{10(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \frac{5}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ amper.

Öz-yönlendirme: Bu bilgiyi bir beceri temelli soruda kullanmam istenseydi hangi kurala bakar, nereden başlardım? Cevap: Önce paydaya bakarım; paydada tek terimli kök varsa kendisiyle, iki terimli varsa eşleniğiyle çarparım. Hangi kuralı seçeceğime payda biçimi karar verir.

7 Çözümlü Örnekler

🧪 Örnek 1

$\frac{6}{\sqrt{3}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

1

Payda tek terimli $\sqrt{3}$ olduğu için pay ve paydayı $\sqrt{3}$ ile çarparız.

2

$\frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$

3

Sadeleştirme yapılır: $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

🧪 Örnek 2

$\frac{4}{2\sqrt{5}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

1

Payda $2\sqrt{5}$ şeklinde; 2 rasyonel, $\sqrt{5}$ irrasyonel. Yalnızca $\sqrt{5}$ ile çarparız.

2

$\frac{4}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{4\sqrt{5}}{10}$

3

Sadeleştir: $\frac{4\sqrt{5}}{10} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

🧪 Örnek 3

$\frac{1}{\sqrt{5}+1}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

1

Payda iki terimli; eşlenik $\sqrt{5}-1$'dir.

2

Pay ve paydayı $\sqrt{5}-1$ ile çarparız.

3

$\frac{1}{\sqrt{5}+1} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

🧪 Örnek 4

$\frac{8}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

1

Payda iki terimli; eşlenik $\sqrt{6}+\sqrt{2}$'dir.

2

Pay ve paydayı $\sqrt{6}+\sqrt{2}$ ile çarp.

3

Payda $6-2=4$ olur: $\frac{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})$.

7 Çözümlü Örnekler

🧪 Örnek 5

$\frac{2}{3+\sqrt{7}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

1

Payda iki terimli: $3+\sqrt{7}$. Eşlenik $3-\sqrt{7}$'dir.

2

Pay ve paydayı $3-\sqrt{7}$ ile çarp.

3

Payda $3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9-7=2$ olur.

4

Sonuç: $\frac{2(3-\sqrt{7})}{2} = 3-\sqrt{7}$.

🧪 Örnek 6

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

1

Payda iki terimli: $\sqrt{3}-1$. Eşlenik $\sqrt{3}+1$'dir.

2

Pay ve paydayı $\sqrt{3}+1$ ile çarp.

3

Payda $3-1=2$; pay $(\sqrt{3}+1)^2 = 3+2\sqrt{3}+1 = 4+2\sqrt{3}$.

4

Sonuç: $\frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.

🧪 Örnek 7 — Karma İşlem

$\frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{8}}$ ifadesini sadeleştirip paydayı rasyonel yapın.

1

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ olduğundan ikinci terim $\frac{3}{2\sqrt{2}}$ olur.

2

Her iki terimin paydasını rasyonelleştirelim: $\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$; $\frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

3

Ortak payda 4: $\frac{10\sqrt{2}}{4} + \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{13\sqrt{2}}{4}$.

4

Sonuç zaten rasyonel paydalı: $\frac{13\sqrt{2}}{4}$.

8 Sık Yapılan Hatalar ve Doğruları

Hata	Doğrusu
Payda iki terimli iken tek terimli gibi yalnızca bir terimle çarpmak. Örnek: $\frac{1}{\sqrt{5}+1}$'de yalnızca $\sqrt{5}$ ile çarpmak.	Payda iki terimli ise eşleniğiyle çarp: $\sqrt{5}-1$ ile. Aksi hâlde payda rasyonel olmaz.
Eşleniğin işaretini yanlış ters çevirmek. Örnek: $\sqrt{5}-2$'nin eşleniğini $-\sqrt{5}+2$ sanmak.	Eşlenik yalnızca iki terim arasındaki işareti değiştirir: $\sqrt{5}+2$ olur.
Paydayı rasyonel yaparken yalnız paydanın çarpıldığını sanmak.	Pay ve payda aynı ifadeyle çarpılmalıdır; aksi hâlde kesrin değeri değişir.
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ sonucunu $a+b$ sanmak.	Sonuç $a-b$'dir çünkü kareler farkıdır: $(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$.
Paydadaki katsayılı köklü ifadede katsayıyı unutmak. Örnek: $\frac{1}{2\sqrt{3}}$'te yalnız $\sqrt{3}$ ile çarpıp paydayı 2 yapmak.	Doğru sonuç $\frac{\sqrt{3}}{6}$'dır; paydadaki $2 \cdot 3 = 6$ olmalıdır.

9 Alıştırmalar

Aşağıdaki alıştırmalarda paydayı rasyonel yapınız. Çözümler hemen altındadır.

Soru 1.

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Soru 2.

$\frac{7}{\sqrt{5}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

$\frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$

Soru 3.

$\frac{1}{3\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

$\frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Soru 4.

$\frac{2}{\sqrt{7}+1}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

$\frac{2(\sqrt{7}-1)}{6} = \frac{\sqrt{7}-1}{3}$

Soru 5.

$\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

$\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5}+\sqrt{2})$

Soru 6.

$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

$\frac{4(2+\sqrt{3})}{4-3} = 4(2+\sqrt{3})$

Soru 7.

$\frac{5}{\sqrt{8}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

$\frac{5}{2\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4}$

Soru 8.

$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

$\frac{1}{\sqrt{3}+2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$

Soru 9.

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapın.

$\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$

10 Test 1 — Klasik Sorular (12 Soru)

Soru 1Cevap: B

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Soru 2Cevap: A

$\frac{4}{\sqrt{5}}$ ifadesinin eşleniği aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

Tek terimli ifadede eşlenik kendisidir.

Soru 3Cevap: C

$\frac{2}{3\sqrt{2}}$ ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında sonuç kaçtır?

Çözüm

$\frac{2}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

Soru 4Cevap: D

$\frac{1}{\sqrt{7}+2}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapmak için pay ve payda aşağıdakilerden hangisiyle çarpılmalıdır?

Çözüm

Payda iki terimli olduğu için eşlenik $\sqrt{7}-2$ seçilir.

Soru 5Cevap: B

$\frac{5}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}$ ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

Payda $6-3=3$ olur: $\frac{5(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{3}$.

Soru 6Cevap: A

$\frac{2}{5-\sqrt{5}}$ ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında sonuç nedir?

Çözüm

$\frac{2}{5-\sqrt{5}} \cdot \frac{5+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = \frac{2(5+\sqrt{5})}{25-5} = \frac{5+\sqrt{5}}{10}$.

Soru 7Cevap: C

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınca payda kaç olur?

Çözüm

Payda $(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2 = 2-3 = -1$ olur. Ancak soruda payda kaç olur denmiş, işlem sonucu payda -1'dir; seçeneklerde -1 var. Cevap C olarak işaretlenmişse kontrol: aslında payda -1 olur, seçeneklerde -1 yok? Tekrar bakıldı: seçeneklerde B -1 var. Cevap C olarak yazılmış, hatalı düzeltildi: cevap B. Soru 7'nin doğru cevabı B -1'dir.

Soru 8Cevap: E

$\frac{3}{\sqrt{12}}$ ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında sonuç nedir?

Çözüm

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$; $\frac{3}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Soru 9Cevap: D

$\frac{1}{\sqrt{5}-1}$ ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında sonuç nedir?

Çözüm

$\frac{1}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.

Soru 10Cevap: B

$\frac{6}{\sqrt{8}}$ ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında sonuç nedir?

Çözüm

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$; $\frac{6}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$? İşlem: 6√2 / (2*2) = 6√2/4 = 3√2/2. Seçeneklerde A var. Ama cevap B işaretlenmiş, hata düzeltildi: doğru cevap A. Soru 10'un cevabı A'dır.

Soru 11Cevap: C

$\frac{2}{2\sqrt{7}}$ ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında sonuç nedir?

Çözüm

$\frac{2}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$.

Soru 12Cevap: A

$\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapmak için hangi ifadeyle çarpılmalıdır?

Çözüm

İki terimli payda için eşlenik $\sqrt{10}-\sqrt{2}$'dir.

Cevap Anahtarı

S1:B

S2:A

S3:C

S4:D

S5:B

S6:A

S7:B

S8:E

S9:D

S10:A

S11:C

S12:A

11 Test 2 — Geçiş Soruları (12 Soru)

Soru 1Cevap: B

Bir mimar, kare planlı bir odanın alanını $18$ m² hesaplıyor. Kenar uzunluğunu $\sqrt{18}$ m olarak yazıyor; ancak raporunda paydası rasyonel olacak şekilde $\frac{2}{\sqrt{2}}$ m biçiminde ifade etmek istiyor. Bu ifadenin doğru rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ m.

Soru 2Cevap: C

Bir elektrik devresinde akım $I = \frac{20}{\sqrt{3}+1}$ amper ölçülüyor. Paydayı rasyonel yaparsak akım aşağıdakilerden hangisi olur?

Çözüm

$\frac{20}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{20(\sqrt{3}-1)}{3-1} = 10(\sqrt{3}-1)$ A.

Soru 3Cevap: D

Bir öğrenci, hesap makinesinde $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ işlemini yaparken paydayı rasyonelleştirmek istiyor. Aşağıdaki işlemlerden hangisi doğru sonucu verir?

Çözüm

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$.

Soru 4Cevap: A

Bir fizik deneyinde süre $t = \frac{1}{2\sqrt{3}}$ saniye olarak ölçülüyor. Bu süreyi rasyonel paydayla yazmak isteyen bir öğrenci nasıl yazmalıdır?

Çözüm

$\frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ s.

Soru 5Cevap: E

Bir kimyager, çözelti hazırlarken hacim oranını $\frac{3}{\sqrt{8}+\sqrt{2}}$ biçiminde hesaplıyor. Bu ifadenin rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$; payda $2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$. $\frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Soru 6Cevap: B

Bir mühendis, bir yapının titreşim periyodunu $T = \frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{5}}$ saniye olarak hesaplıyor. Periyodu rasyonel paydayla yazarsak sonuç ne olur?

Çözüm

Payda $10-5=5$; sonuç $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{5}$.

Soru 7Cevap: C

Pizza hamuru açan bir şef, hamur kalınlığını $\frac{2}{\sqrt{5}+1}$ cm olarak hesaplıyor. Kalınlığı rasyonel paydayla yazarsak sonuç nedir?

Çözüm

$\frac{2}{\sqrt{5}+1} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ cm.

Soru 8Cevap: D

Bir harita çiziminde ölçek $\frac{3}{\sqrt{12}}$ biçiminde veriliyor. Bu ölçeğin rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

$\frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Soru 9Cevap: A

Bir biyolog, hücre kültüründe büyüme oranını $\frac{4}{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}$ olarak hesaplıyor. Bu ifadenin rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

Payda $2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$. $\frac{4}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$.

Soru 10Cevap: E

Bir yarışmada parkur uzunluğu $\frac{6}{\sqrt{5}-1}$ km olarak veriliyor. Parkurun rasyonelleştirilmiş uzunluğu nedir?

Çözüm

$\frac{6}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{6(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{3(\sqrt{5}+1)}{2}$ km.

Soru 11Cevap: B

Bir öğretmen, öğrencisine $\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{7}}$ ifadesini hesaplatıyor. Öğrenci paydayı rasyonelleştirdiğinde sonuç ne olmalıdır?

Çözüm

Payda $14-7=7$; sonuç $\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{7}$.

Soru 12Cevap: A

Bir gökbilimci, bir gök cisminin parlaklığını $\frac{5}{2\sqrt{5}}$ birim olarak ölçüyor. Bu parlaklığın rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

$\frac{5}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Cevap Anahtarı

S1:B

S2:C

S3:D

S4:A

S5:E

S6:B

S7:C

S8:D

S9:A

S10:E

S11:B

S12:A

12 Test 3 — Beceri Temelli Sorular (12 Soru)

Soru 1Cevap: C

Bir mühendis, bir köprünün salınım periyodunu $T = \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ saniye olarak hesaplıyor. Köprünün bakım raporunda periyodun yaklaşık değeri isteniyor. Paydayı rasyonel yapıp hesap makinesiyle kolayca bulmak isteyen mühendis sonucu nasıl yazmalıdır?

Çözüm

Payda $6-2=4$; $\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$ s.

Soru 2Cevap: D

Bir aşçı, tarifteki tuz oranını $\frac{1}{\sqrt{3}}$ çay kaşığı olarak yazıyor. Ancak tarifin ölçüsünü dijital teraziye aktarırken paydası rasyonel olan ifadeyi kullanmak istiyor. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Çözüm

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Soru 3Cevap: B

Bir arkeolog, kazı alanındaki bir taşın hacmini $\frac{5}{\sqrt{7}+2}$ m³ olarak hesaplıyor. Rapor için hacmi rasyonel paydalı yazması gerekiyor. Sonuç ne olur?

Çözüm

Payda $7-4=3$; $\frac{5(\sqrt{7}-2)}{3}$ m³.

Soru 4Cevap: E

Bir inşaat mühendisi, beton karışımındaki su-çimento oranını $\frac{7}{2\sqrt{2}}$ litre/kg olarak hesaplıyor. Kalite kontrol formunda bu oranın rasyonelleştirilmiş hâli isteniyor. Doğru yazım nedir?

Çözüm

$\frac{7}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{4}$.

Soru 5Cevap: A

Bir doktor, hastasına verilecek ilacın dozunu $\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ mg/kg olarak hesaplıyor. Dozu basitleştirmek isterse sonuç nedir?

Çözüm

Payda $5-2=3$; sadeleşir: $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ mg/kg.

Soru 6Cevap: C

Bir ekonomist, enflasyon modelinde $\frac{2}{1-\sqrt{2}}$ katsayısını kullanıyor. Bu katsayının rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

$\frac{2}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{2(1+\sqrt{2})}{1-2} = -2(1+\sqrt{2})$.

Soru 7Cevap: D

Bir ziraat mühendisi, gübre çözeltisinin yoğunluğunu $\frac{6}{\sqrt{12}+\sqrt{3}}$ g/L olarak hesaplıyor. Bu yoğunluğun rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$; payda $3\sqrt{3}$; $\frac{6}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ g/L.

Soru 8Cevap: B

Bir astronot, uzay mekiğindeki hızlanma oranını $\frac{3}{\sqrt{2}-1}$ m/s² olarak ölçüyor. Bu oranın rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

Payda $2-1=1$; sonuç $3(\sqrt{2}+1)$ m/s².

Soru 9Cevap: E

Bir diyetisyen, bir içeceğin glisemik indeksini $\frac{5}{\sqrt{10}+\sqrt{5}}$ olarak hesaplıyor. Bu indeksin rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

Payda $10-5=5$; sonuç $\frac{5(\sqrt{10}-\sqrt{5})}{5} = \sqrt{10}-\sqrt{5}$.

Soru 10Cevap: D

Bir mimar, ısı yalıtım raporunda kalınlık değerini $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ cm olarak yazıyor. Değeri rasyonelleştirirseniz sonuç ne olur?

Çözüm

Payda $7-2=5$; $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{5}$ cm.

Soru 11Cevap: A

Bir öğrenci, projesinde sesin havadaki hızını $\frac{340}{\sqrt{2}}$ m/s olarak hesaplıyor. Bu hızın rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

$\frac{340}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{340\sqrt{2}}{2} = 170\sqrt{2}$ m/s.

Soru 12Cevap: C

Bir tekstil mühendisi, kumaşın esneme katsayısını $\frac{9}{3\sqrt{3}+2\sqrt{3}}$ olarak hesaplıyor. Bu katsayının rasyonelleştirilmiş hâli nedir?

Çözüm

Payda $3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$; $\frac{9}{5\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{15} = \frac{3\sqrt{3}}{5}$.

Cevap Anahtarı

S1:C

S2:D

S3:B

S4:E

S5:A

S6:C

S7:D

S8:B

S9:E

S10:D

S11:A

S12:C