Üslü gösterimlerle toplama ve çıkarma

1 Neden Bu Konu?

Bilim insanları, mühendisler ve ekonomistler çalışırken çok büyük ya da çok küçük sayılarla sık sık karşılaşır. Örneğin bir kan tahlili sonucunda kırmızı kan hücresi sayısı $4,5 \cdot 10^6$ /mm³ biçiminde yazılır. Bir başka tahlilde ise $2,3 \cdot 10^6$ /mm³ bulunabilir. Bu iki değeri toplamak ya da karşılaştırmak için üslü gösterimli sayılarla işlem yapmak gerekir.

📊 Günlük Hayattan Bağlam

Bir belediye, iki ayrı şehir parkının ağaç sayılarını raporlamıştır. Birinci parkta $6 \cdot 10^5$ adet ağaç fidanı, ikinci parkta $4 \cdot 10^5$ adet ağaç fidanı dikilmiştir. İki parktaki toplam ağaç fidanı sayısını bulurken $6 \cdot 10^5$ ile $4 \cdot 10^5$ ifadelerini aynı "paket" cinsinden toplarız.

Benzer durumlar nüfus karşılaştırmalarında, bütçe verilerinde (milyar/trilyon düzeyinde) ve depolanan veri miktarlarında da ortaya çıkar. Bu tür işlemleri doğru yapabilmek için üslü gösterimli ifadelerde toplama ve çıkarmanın kurallarını iyi kavramak gerekir.

Bu bölümdeki temel soru şudur: "Hangi üslü ifadeler toplanabilir, hangileri toplanamaz?" Bu sorunun cevabını adım adım kurarken, aslında 8. sınıftan bildiğin ortak çarpan parantezine alma düşüncesini üslü gösterimlere taşıyacağız.

2 Toplama ve Çıkarmanın Temel Mantığı

Şu basit işlemi hatırlayalım: $3x + 5x$ ifadesinde $x$ ortak bir çarpandır. Bu yüzden $3x + 5x = (3+5) \cdot x = 8x$ biçiminde sadeleştirilir. Aynı düşünceyi üslü ifadelere taşıyabiliriz.

$3 \cdot 5^4$ ifadesinin ne anlama geldiğine bakalım. Bu ifade, 3 tane $5^4$ paketi demektir. Benzer biçimde $2 \cdot 5^4$ ifadesi de 2 tane $5^4$ paketi demektir. Bu paketleri topladığımızda $3 + 2 = 5$ paket elde ederiz:

Örnek $$3 \cdot 5^4 + 2 \cdot 5^4 = (3+2) \cdot 5^4 = 5 \cdot 5^4$$

Buradaki kritik fikir şudur: $5^4$ ifadesi bir paket gibi düşünülür; katsayılar paket sayısını gösterir. Toplama veya çıkarma yaparken yalnızca paket sayıları birleştirilir, paketin kendisi ($5^4$) değişmez.

⚖ Temel Kural

Üslü gösterimli ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için tabanları VE üsleri aynı olan terimler aranır. Bu terimler, ortak çarpan parantezine alınarak birleştirilir.

Aynı mantıkla çıkarma işlemi de yapılır: $9 \cdot 7^4 - 2 \cdot 7^4$ ifadesinde $7^4$ paketlerinden $9$ tane var, $2$ tane çıkarılırsa $7$ paket kalır:

Örnek $$9 \cdot 7^4 - 2 \cdot 7^4 = (9-2) \cdot 7^4 = 7 \cdot 7^4$$

Bu işlem yeni bir üslü kural değildir; sadece ortak çarpan parantezine alma işleminin üslü gösterimlere uygulanmasıdır.

3 Kuralın Yapısı ve Sınırları

Üslü gösterimli ifadelerde toplama ve çıkarmanın genel biçimi aşağıdaki gibidir:

Genel Kural $$a \cdot x^n \pm b \cdot x^n = (a \pm b) \cdot x^n$$

Burada $x$ bir gerçek sayı tabanı, $n$ bir doğal sayı üssü, $a$ ve $b$ gerçek sayı katsayıları göstermektedir. Dikkat edilmesi gereken en önemli koşul: taban $x$ VE üs $n$ her iki terimde de birebir aynı olmalıdır.

⚠ Dikkat!

Tabanı veya üssü farklı olan terimler bu kural ile birleştirilemez. Yani taban aynı ama üs farklıysa, ya da üs aynı ama taban farklıysa doğrudan katsayıları toplayamazsın.

Kuralın geçerlilik koşullarını netleştirmek için şu üç durumu karşılaştıralım:

Durum	Örnek	Toplanabilir mi?	Neden?
Taban ve üs aynı	$3 \cdot 5^4 + 2 \cdot 5^4$	Evet	Ortak paket $5^4$ var.
Taban aynı, üs farklı	$5^4 + 5^2$	Doğrudan hayır	Paketlerin boyutu farklı.
Taban farklı, üs aynı	$3^4 + 5^4$	Hayır	Tabanlar farklı, ortak paket yok.

Bu tablo, konunun en kritik karar noktasını özetler: "Ortak paket var mı?" Eğer her iki terimde de aynı taban ve aynı üs bulunuyorsa işlem yapılabilir.

4 Tabanı ve Üssü Aynı Olan Terimlerle İşlem

Kuralın uygulanabileceği en temel durum, tabanı VE üssü aynı olan terimlerdir. Şimdi birkaç örnekle bu durumu pekiştirelim.

✍ Örnek 1

$4 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^5$ işlemini yapalım.

Çözüm $$4 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^5 = (4+2) \cdot 3^5 = 6 \cdot 3^5$$

Sonuç: $6 \cdot 3^5$

✍ Örnek 2

$9 \cdot 7^4 - 2 \cdot 7^4$ işlemini yapalım.

Çözüm $$9 \cdot 7^4 - 2 \cdot 7^4 = (9-2) \cdot 7^4 = 7 \cdot 7^4$$

Sonuç: $7 \cdot 7^4$

✍ Örnek 3

$5 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^8$ işlemini yapalım.

Çözüm $$5 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^8 = (5+3) \cdot 10^8 = 8 \cdot 10^8$$

Sonuç: $8 \cdot 10^8$

✍ Örnek 4

$6 \cdot 2^6 - 6 \cdot 2^6$ işlemini yapalım.

Çözüm $$6 \cdot 2^6 - 6 \cdot 2^6 = (6-6) \cdot 2^6 = 0 \cdot 2^6 = 0$$

Sonuç: $0$

Bu örneklerde gördüğün gibi, taban ve üs aynı kaldığı için katsayılar arasında toplama ya da çıkarma yapmak yeterlidir.

5 Tabanı Aynı, Üssü Farklı Olan Terimler

Şimdi sık yapılan bir hataya bakalım: $2^5 + 2^3$ ifadesi verilmiş olsun. Tabanlar aynı olduğu için bazı öğrenciler üsleri toplayarak $2^8$ sonucuna ulaşır. Bu yanlıştır.

❌ Yanlış Düşünce

$2^5 + 2^3 \ne 2^8$

Neden? Çünkü $2^5$ ve $2^3$ farklı büyüklükte paketlerdir. $2^5 = 32$ ve $2^3 = 8$ olduğundan toplam $40$ eder. Oysa $2^8 = 256$ eder. Görüldüğü gibi sonuçlar tamamen farklıdır.

Peki $2^5 + 2^3$ ifadesi hiç mi sadeleştirilemez? Burada dikkatli olmalıyız. Tabanlar aynı olduğu için bazen üsleri eşitleyerek ortak paket oluşturabiliriz.

$2^5$ ifadesini $2^3$ cinsinden yazalım: $2^5 = 4 \cdot 2^3$ olduğunu biliyoruz (çünkü $2^5 = 32$ ve $4 \cdot 8 = 32$). O hâlde:

Dönüşüm $$2^5 + 2^3 = 4 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^3 = (4+1) \cdot 2^3 = 5 \cdot 2^3$$

Görüldüğü gibi, tabanları aynı olan terimler üsleri eşitlenerek toplanabilir hâle getirilebilir. Ancak bu her zaman mümkün değildir ve doğrudan toplama yapılamaz. Bu dönüşümü ancak küçük tabanlı ifadelerde ya da $10$'un kuvvetlerinde kolayca uygularız.

⚠ Öğrenmen Gereken

Tabanları aynı olup üsleri farklı olan terimlerde toplama yapmak istiyorsan önce üsleri eşitle. Üsleri eşitleyemiyorsan bu terimler birleştirilemez.

6 Üssü Aynı, Tabanı Farklı Olan Terimler

Bir diğer yaygın hata da üsler aynı olduğunda tabanları toplamaktır. Örneğin $3^4 + 5^4$ ifadesini ele alalım. Bazı öğrenciler $3^4 + 5^4 = 8^4$ sonucuna ulaşır. Bu yanlıştır.

❌ Yanlış Düşünce

$3^4 + 5^4 \ne 8^4$

Hesaplayarak kontrol edelim: $3^4 = 81$, $5^4 = 625$, toplam $706$. Oysa $8^4 = 4096$. Aradaki fark devasadır.

Neden bu iki terim toplanamaz? Çünkü $3^4$ ile $5^4$ ifadelerinin tabanları farklıdır. $3^4$ paketi, $5^4$ paketinden tamamen farklıdır; ortak bir çarpanları yoktur. Kuralımıza göre toplama işlemi yalnızca taban VE üs aynı olduğunda yapılabilir.

⚖ Kuralın Hatırlatması

Üsleri aynı diye tabanları toplamak doğru değildir. $x^a + y^a \ne (x+y)^a$ genel olarak yanlıştır.

Benzer biçimde $2^5 + 4^5$ ifadesi de doğrudan toplanamaz. $2^5$ ve $4^5$ paketleri farklıdır. Ancak $4$ sayısı $2^2$ biçiminde yazılabildiği için $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$ olur ve $2^{10} = 2^5 \cdot 2^5$ gibi dönüşümlerle ortak paket aranabilir. Ama bu durumda bile toplama kuralımızdan önce üslü dönüşüm yapmak gerekir. Bu bölümde yalnızca doğrudan toplamanın mümkün olmadığını vurguluyoruz.

7 Üsleri Eşitleyerek Toplama ve Çıkarma

Gerçek hayat bağlamlarında veriler genellikle $10$'un farklı kuvvetleriyle yazılır. Örneğin bir ülkenin nüfusu $1,2 \cdot 10^8$ kişi, başka bir ülkenin nüfusu $4,5 \cdot 10^7$ kişi olarak verilmiş olsun. Bu iki sayıyı toplamak ya da farkını almak için önce üsleri eşitlemek gerekir.

Yöntem basittir: $10^n = 10 \cdot 10^{n-1}$ olduğunu kullanırız. Örneğin $10^8 = 10 \cdot 10^7$ şeklinde yazılabilir. Bu dönüşüm sayesinde aynı pakete getiririz.

✍ Örnek: $4 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^7$

$10^8$ paketi ile $10^7$ paketi farklıdır. Bu yüzden $10^8$ ifadesini $10^7$ cinsinden yazalım:

Üs Eşitleme $$4 \cdot 10^8 = 4 \cdot 10 \cdot 10^7 = 40 \cdot 10^7$$

Şimdi her iki terim de $10^7$ paketindedir:

Toplama $$40 \cdot 10^7 + 3 \cdot 10^7 = (40+3) \cdot 10^7 = 43 \cdot 10^7$$

İstersek sonucu yeniden $10^8$ cinsinden yazabiliriz: $43 \cdot 10^7 = 4,3 \cdot 10^8$.

Sonuç: $43 \cdot 10^7 = 4,3 \cdot 10^8$

⚠ Seçim Kararı

Üsleri eşitlerken küçük üssü büyük üsse çıkarmak ya da büyük üssü küçük üsse indirmek mümkündür. Genellikle sonucu bilimsel gösterime uygun bırakmak için katsayıyı $1$ ile $10$ arasında tutacak yönü seçeriz.

Aynı yöntem tabanı farklı olan ifadelerde de kullanılabilir, ancak tabanlar arasında bir kuvvet ilişkisi olması gerekir. Örneğin $12 \cdot 6^5 + 3 \cdot 6^4$ ifadesinde $6^5 = 6 \cdot 6^4$ yazarak üsleri eşitleyebiliriz.

8 Genel İfadelerde Karar Verme

Bir ifadede birden çok terim olduğunda, hangi terimlerin birleştirilebileceğine dikkatle karar vermek gerekir. Şu ifadeyi inceleyelim:

Karma İfade $$3 \cdot 2^5 + 4 \cdot 5^3 + 2 \cdot 2^5 - 1 \cdot 5^3$$

Burada iki farklı paket vardır: $2^5$ paketleri ve $5^3$ paketleri. Kurallara göre yalnızca aynı paketler kendi aralarında birleştirilebilir.

Doğru Birleştirme $$3 \cdot 2^5 + 2 \cdot 2^5 = (3+2) \cdot 2^5 = 5 \cdot 2^5$$

Diğer Paketler $$4 \cdot 5^3 - 1 \cdot 5^3 = (4-1) \cdot 5^3 = 3 \cdot 5^3$$

Böylece ifadenin en sade biçimi $5 \cdot 2^5 + 3 \cdot 5^3$ olur. Bu iki terim birbiriyle toplanamaz çünkü tabanları ve üsleri farklıdır.

⚖ Karar Verme Adımı

Karmaşık bir ifadede önce paketleri belirle, sonra aynı pakete sahip terimleri kendi aralarında topla/çıkar. Farklı paketleri asla birleştirme.

Kendine sor: "Bu terimdeki taban ve üs ne? Diğer terimle birebir aynı mı?" Cevap evetse katsayıları birleştir, hayırsa dokunma.

9 Kuralların Özeti

Bu bölüme kadar öğrendiklerimizi tek bir tabloda toplayalım. Bu tablo, karar verme aşamasında sana rehberlik edecek.

Durum	Örnek	Doğrudan İşlem Yapılabilir mi?	Ne Yapılmalı?
Taban ve üs aynı	$a \cdot x^n \pm b \cdot x^n$	Evet	Katsayılar birleşir: $(a \pm b) \cdot x^n$
Taban aynı, üs farklı	$x^m \pm x^n$ ($m \ne n$)	Hayır	Üsler eşitlenebiliyorsa dönüşüm yap, sonra topla.
Taban farklı, üs aynı	$x^n \pm y^n$ ($x \ne y$)	Hayır	Toplanamaz, tabanlar farklıdır.
Taban ve üs farklı	$x^m \pm y^n$	Hayır	Toplanamaz.

Ana kuralı bir kez daha vurgulayalım:

Üslü Gösterimlerde Toplama/Çıkarma Kuralı $$a \cdot x^n \pm b \cdot x^n = (a \pm b) \cdot x^n$$

Bu eşitlik yalnızca taban ($x$) ve üs ($n$) aynı olduğunda geçerlidir.

10 🔍 Karar Verme Örnekleri

Bu bölümde, öğrendiğin kuralın beceri temelli sorularda nasıl karşına çıkabileceğini göreceğiz. Burada şıklı soru yok; amacımız senaryodaki matematiksel kararı birlikte vermek.

📚 Senaryo 1: Depolanan Veri

Durum: Bir bulut depolama merkezinde iki ayrı sunucu grubu vardır. Birinci grup $4 \cdot 10^{12}$ bayt, ikinci grup $7 \cdot 10^{12}$ bayt veri depolamaktadır.

İstenen: Bu iki gruptaki toplam veri miktarı kaç bayttır?

Kural seçimi: İki terimde de taban $10$ ve üs $12$ aynıdır. Bu yüzden toplama kuralı doğrudan uygulanır. Tabanları toplamak ya da üsleri toplamak gerekmez.

Uygulama: $4 \cdot 10^{12} + 7 \cdot 10^{12} = (4+7) \cdot 10^{12} = 11 \cdot 10^{12}$ bayt.

📚 Senaryo 2: Nüfus Farkı

Durum: Bir bölgedeki iki şehrin nüfusları yaklaşık olarak $1,2 \cdot 10^8$ ve $9,5 \cdot 10^7$ kişidir.

İstenen: Birinci şehrin nüfusu ikinci şehirden kaç kişi fazladır?

Kural seçimi: Üsler farklı olduğu için doğrudan çıkarma yapılamaz. Tabanlar aynı ($10$) olduğundan üsleri eşitlemek gerekir. $1,2 \cdot 10^8 = 12 \cdot 10^7$ dönüşümüyle her iki terim de $10^7$ paketine gelir.

Uygulama: $12 \cdot 10^7 - 9,5 \cdot 10^7 = (12 - 9,5) \cdot 10^7 = 2,5 \cdot 10^7$ kişi.

📚 Senaryo 3: Parasal Büyüklükler

Durum: Bir ilçenin yıllık eğitim bütçesi $7 \cdot 10^9$ TL, sağlık bütçesi $3 \cdot 10^9$ TL'dir. Bir sonraki yıl eğitim bütçesi $5 \cdot 10^9$ TL artmıştır.

İstenen: Bir sonraki yıl eğitim ve sağlık bütçelerinin toplamı kaç TL'dir?

Kural seçimi: Önce eğitim bütçesindeki artışı hesaplamak gerekir: $7 \cdot 10^9 + 5 \cdot 10^9 = 12 \cdot 10^9$. Sonra toplam bütçe için $12 \cdot 10^9$ ile $3 \cdot 10^9$ toplanır. Taban ve üs aynı olduğu için katsayılar toplanır.

Uygulama: $12 \cdot 10^9 + 3 \cdot 10^9 = 15 \cdot 10^9$ TL.

📚 Senaryo 4: Kimyasal Karışım

Durum: Bir laboratuvarda iki kapta aynı cins bakteri bulunmaktadır. Birinci kapta $3 \cdot 5^6$ adet, ikinci kapta $2 \cdot 5^6$ adet bakteri vardır. Deney sırasında birinci kaptaki bakterilerin $5^6$ kadarı ayrışmıştır.

İstenen: İki kapta kalan toplam bakteri sayısı kaçtır?

Kural seçimi: Birinci kapta kalan: $3 \cdot 5^6 - 1 \cdot 5^6 = 2 \cdot 5^6$. İkinci kaptaki zaten $2 \cdot 5^6$. Şimdi iki kaptaki kalanları topla: $2 \cdot 5^6 + 2 \cdot 5^6 = 4 \cdot 5^6$. Taban ve üs her adımda aynıdır.

Uygulama: Sonuç $4 \cdot 5^6$ adet bakteri.

Öz-yönlendirme: Bu bilgiyi bir beceri temelli soruda kullanmam istenseydi hangi kurala bakar, nereden başlardım? — Önce terimlerin taban ve üslerini kontrol ederim; aynıysa katsayıları birleştiririm, farklıysa üs eşitleme imkânı ararım. Bağlamdaki sayıları ortak pakete getirmek her zaman ilk adımdır.

11 Çözümlü Örnekler

Aşağıda adım adım çözümlenmiş 8 örnek bulunmaktadır. Her birini dikkatle incele.

📜 Örnek 1

$5 \cdot 2^7 + 3 \cdot 2^7$ işlemini yapalım.

1

Tabanı ve üssü kontrol et: Her iki terimde de taban $2$, üs $7$ aynıdır.

2

Katsayıları topla: $5 + 3 = 8$.

3

Sonuç: $8 \cdot 2^7$.

Sonuç$$5 \cdot 2^7 + 3 \cdot 2^7 = 8 \cdot 2^7$$

📜 Örnek 2

$9 \cdot 10^5 - 4 \cdot 10^5$ işlemini yapalım.

1

Taban ve üs aynı: her ikisinde de $10^5$ paketi var.

2

Katsayıları çıkar: $9 - 4 = 5$.

3

Sonuç: $5 \cdot 10^5$.

Sonuç$$9 \cdot 10^5 - 4 \cdot 10^5 = 5 \cdot 10^5$$

📜 Örnek 3

$2 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^4 - 1 \cdot 3^4$ işlemini yapalım.

1

Üç terimde de taban $3$, üs $4$ aynıdır.

2

Katsayıları işlem sırasına göre birleştir: $2 + 7 - 1 = 8$.

3

Sonuç: $8 \cdot 3^4$.

Sonuç$$2 \cdot 3^4 + 7 \cdot 3^4 - 1 \cdot 3^4 = 8 \cdot 3^4$$

📜 Örnek 4

$4 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^7$ işlemini yapalım.

1

Üsler farklı ($8$ ve $7$). Tabanlar aynı olduğu için üs eşitleme yapabiliriz.

2

$10^8 = 10 \cdot 10^7$ olduğundan $4 \cdot 10^8 = 40 \cdot 10^7$ olur.

3

Şimdi topla: $40 \cdot 10^7 + 3 \cdot 10^7 = (40+3) \cdot 10^7 = 43 \cdot 10^7$.

4

İstenirse sonuç $4,3 \cdot 10^8$ olarak da yazılabilir.

Sonuç$$4 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^7 = 43 \cdot 10^7 = 4,3 \cdot 10^8$$

11 Çözümlü Örnekler

📜 Örnek 5

$12 \cdot 6^3 - 5 \cdot 6^3$ işlemini yapalım.

1

Taban $6$, üs $3$ her iki terimde de aynıdır.

2

Katsayıları çıkar: $12 - 5 = 7$.

3

Sonuç: $7 \cdot 6^3$.

Sonuç$$12 \cdot 6^3 - 5 \cdot 6^3 = 7 \cdot 6^3$$

📜 Örnek 6

$3 \cdot 11^5 + 5 \cdot 11^4$ işlemini yapalım.

1

Üsler farklı ($5$ ve $4$). Tabanlar aynı olduğu için üs eşitleme dene.

2

$11^5 = 11 \cdot 11^4$ olduğundan $3 \cdot 11^5 = 33 \cdot 11^4$ olur.

3

Şimdi topla: $33 \cdot 11^4 + 5 \cdot 11^4 = (33+5) \cdot 11^4 = 38 \cdot 11^4$.

Sonuç$$3 \cdot 11^5 + 5 \cdot 11^4 = 38 \cdot 11^4$$

📜 Örnek 7

$8 \cdot 2^6 - 2 \cdot 2^6$ işlemini yapalım.

1

Taban ve üs aynı: $2^6$ paketleri.

2

Katsayıları çıkar: $8 - 2 = 6$.

3

Sonuç: $6 \cdot 2^6$.

Sonuç$$8 \cdot 2^6 - 2 \cdot 2^6 = 6 \cdot 2^6$$

📜 Örnek 8: Geri Yönde Düşünme

$(4+7) \cdot 10^9$ ifadesini açalım.

1

Bu ifade, $4 \cdot 10^9 + 7 \cdot 10^9$ biçimine genişletilebilir.

2

Katsayıları topla: $4+7 = 11$.

3

Sonuç: $11 \cdot 10^9$.

Sonuç$$(4+7) \cdot 10^9 = 11 \cdot 10^9$$

12 Sık Yapılan Hatalar ve Doğruları

Bu bölümde, öğrencilerin en çok düştüğü 5 hatayı ve doğrularını tablo hâlinde inceleyeceğiz.

Hata	Yanlış Düşünce	Doğrusu
1.	$2^5 + 2^3 = 2^8$	Üsler toplanmaz. Toplama/çıkarmada taban ve üs aynı olmalıdır. Gerekirse üsler eşitlenir: $2^5 + 2^3 = 4 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^3 = 5 \cdot 2^3$.
2.	$3^4 + 5^4 = 8^4$	Tabanlar toplanmaz. $3^4$ ve $5^4$ farklı paketlerdir. $3^4 + 5^4 = 81 + 625 = 706$ olur, $8^4 = 4096$ değildir.
3.	$4 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^5 = 7 \cdot 10^{11}$	Katsayılar toplanıp üsler çarpılmaz ya da toplanmaz. Önce üsleri eşitle: $4 \cdot 10^6 = 40 \cdot 10^5$, sonra $40 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^5 = 43 \cdot 10^5 = 4,3 \cdot 10^6$.
4.	$5 \cdot 7^4 + 2 \cdot 5^4 = 7 \cdot 7^4$	Tabanlar farklı olduğu için terimler birleştirilemez. Sadece taban VE üs aynı olanlar toplanır. $5 \cdot 7^4$ ile $2 \cdot 5^4$ arasında işlem yapılamaz.
5.	$3 \cdot 9^4 - 2 \cdot 9^4 = -1 \cdot 9^4$ yerine $1 \cdot 9^4$ yazmak	Çıkarma işleminde katsayı işaretine dikkat edilmelidir: $3 - 2 = 1$ olduğundan doğru sonuç $1 \cdot 9^4$ olur. Ama $3 \cdot 9^4 - 7 \cdot 9^4$ gibi bir işlemde sonuç $-4 \cdot 9^4$ olur.

Tablodaki hataları kendine sor: "Ben de aynı hatayı yapıyor muyum?" Bu hataların nedenlerini anlamak, kuralı içselleştirmenin en kalıcı yoludur.

13 Alıştırmalar

Aşağıdaki 10 alıştırmayı çöz. Çözümler her sorunun altında verilmiştir; kendi sonucunu bulduktan sonra karşılaştır.

Soru 1.

$6 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^3$ işleminin sonucu nedir?

$(6+2) \cdot 4^3 = 8 \cdot 4^3$

Soru 2.

$8 \cdot 10^6 - 3 \cdot 10^6$ işleminin sonucu nedir?

$(8-3) \cdot 10^6 = 5 \cdot 10^6$

Soru 3.

$5 \cdot 7^5 + 2 \cdot 7^5 - 1 \cdot 7^5$ işleminin sonucu nedir?

$(5+2-1) \cdot 7^5 = 6 \cdot 7^5$

Soru 4.

$7 \cdot 3^4 + 5 \cdot 3^4$ işleminin sonucu nedir?

$(7+5) \cdot 3^4 = 12 \cdot 3^4$

Soru 5.

$9 \cdot 2^8 - 6 \cdot 2^8$ işleminin sonucu nedir?

$(9-6) \cdot 2^8 = 3 \cdot 2^8$

13 Alıştırmalar

Soru 6.

$1,5 \cdot 10^7 + 2 \cdot 10^7$ işleminin sonucu nedir?

$(1,5+2) \cdot 10^7 = 3,5 \cdot 10^7$

Soru 7.

$4 \cdot 10^9 + 3 \cdot 10^8$ işleminin sonucu nedir?

$4 \cdot 10^9 = 40 \cdot 10^8$; sonra $40 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^8 = 43 \cdot 10^8 = 4,3 \cdot 10^9$

Soru 8.

$2 \cdot 5^6 + 3 \cdot 5^6 - 5 \cdot 5^6$ işleminin sonucu nedir?

$(2+3-5) \cdot 5^6 = 0 \cdot 5^6 = 0$

Soru 9.

$10 \cdot 6^4 - 4 \cdot 6^4$ işleminin sonucu nedir?

$(10-4) \cdot 6^4 = 6 \cdot 6^4$

Soru 10.

$3 \cdot 10^5 + 7 \cdot 10^5 - 2 \cdot 10^5$ işleminin sonucu nedir?

$(3+7-2) \cdot 10^5 = 8 \cdot 10^5$

14 Test 1 — Klasik Sorular (12 Soru)

Bu test doğrudan kural bilgini ölçer. Her soruyu dikkatle oku ve kuralı uygula.

Soru 1 Cevap: B

$4 \cdot 5^3 + 2 \cdot 5^3$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(4+2) \cdot 5^3 = 6 \cdot 5^3$

Soru 2 Cevap: A

$7 \cdot 10^8 - 3 \cdot 10^8$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(7-3) \cdot 10^8 = 4 \cdot 10^8$

Soru 3 Cevap: A

$5 \cdot 2^4 + 3 \cdot 2^4 - 1 \cdot 2^4$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(5+3-1) \cdot 2^4 = 7 \cdot 2^4$

Soru 4 Cevap: A

$2 \cdot 7^6 + 5 \cdot 7^6$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(2+5) \cdot 7^6 = 7 \cdot 7^6$

Soru 5 Cevap: A

$9 \cdot 11^5 - 4 \cdot 11^5$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(9-4) \cdot 11^5 = 5 \cdot 11^5$

Soru 6 Cevap: A

$12 \cdot 3^7 - 12 \cdot 3^7$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(12-12) \cdot 3^7 = 0 \cdot 3^7 = 0$

Soru 7 Cevap: A

$(5+3) \cdot 10^9$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Çözüm

$5+3=8$ olduğundan $8 \cdot 10^9$

Soru 8 Cevap: A

$3 \cdot 4^5 + 2 \cdot 4^5$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(3+2) \cdot 4^5 = 5 \cdot 4^5$

Soru 9 Cevap: A

$(-2) \cdot 6^3 + 5 \cdot 6^3$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(-2+5) \cdot 6^3 = 3 \cdot 6^3$

Soru 10 Cevap: A

$8 \cdot 10^6 + 2 \cdot 10^6 - 3 \cdot 10^6$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(8+2-3) \cdot 10^6 = 7 \cdot 10^6$

Soru 11 Cevap: A

$15 \cdot 2^8 - 6 \cdot 2^8 - 4 \cdot 2^8$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(15-6-4) \cdot 2^8 = 5 \cdot 2^8$

Soru 12 Cevap: B

$2 \cdot 9^4 + 3 \cdot 9^4 + 1 \cdot 9^4$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

$(2+3+1) \cdot 9^4 = 6 \cdot 9^4$

Cevap Anahtarı — Test 1

1.B

2.A

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

11.A

12.B

15 Test 2 — Geçiş Soruları (12 Soru)

Bu testteki her soru, kuralı kısa ve somut bir bağlam içinde kullanmanı bekler. Klasik soru yoktur.

Soru 1 Cevap: A

Bir laboratuvarda A deneyinde $6 \cdot 10^7$ adet, B deneyinde $2 \cdot 10^7$ adet hücre üretilmiştir. Buna göre iki deneyde toplam üretilen hücre sayısı kaçtır?

Çözüm

$(6+2) \cdot 10^7 = 8 \cdot 10^7$

Soru 2 Cevap: A

Bir okul kütüphanesinde $3 \cdot 10^5$ adet bilim kurgu, $7 \cdot 10^5$ adet tarih kitabı vardır. Bilim kurgu kitapları tarih kitaplarından kaç adet azdır?

Çözüm

$7 \cdot 10^5 - 3 \cdot 10^5 = 4 \cdot 10^5$

Soru 3 Cevap: A

Bir veri merkezinde $9 \cdot 10^{11}$ bayt dosya ve $5 \cdot 10^{11}$ bayt yedek veri bulunmaktadır. Toplam veri kaç bayttır?

Çözüm

$(9+5) \cdot 10^{11} = 14 \cdot 10^{11}$

Soru 4 Cevap: A

İki ilçenin nüfusları sırasıyla $1,2 \cdot 10^6$ ve $8 \cdot 10^5$ kişidir. İki ilçenin toplam nüfusu kaç kişidir?

Çözüm

$1,2 \cdot 10^6 = 12 \cdot 10^5$; $12 \cdot 10^5 + 8 \cdot 10^5 = 20 \cdot 10^5 = 2 \cdot 10^6$

Soru 5 Cevap: A

Bir şirketin 2023 bütçesi $7 \cdot 10^9$ TL'dir. 2024 bütçesi $3 \cdot 10^9$ TL artmıştır. 2024 bütçesi kaç TL'dir?

Çözüm

$7 \cdot 10^9 + 3 \cdot 10^9 = 10 \cdot 10^9$

Soru 6 Cevap: A

Bir uyduda $5 \cdot 10^4$ watt güç üreten iki panel ve $3 \cdot 10^4$ watt güç üreten bir diğer panel bulunmaktadır. Toplam üretilen güç kaç watt'tır?

Çözüm

$5 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^4 = 13 \cdot 10^4$

Soru 7 Cevap: A

Bir arşivde $2 \cdot 10^6$ adet dijital belge, başka bir arşivde $9 \cdot 10^5$ adet dijital belge vardır. İki arşivdeki toplam belge sayısı nedir?

Çözüm

$2 \cdot 10^6 = 20 \cdot 10^5$; $20 \cdot 10^5 + 9 \cdot 10^5 = 29 \cdot 10^5 = 2,9 \cdot 10^6$

Soru 8 Cevap: A

Bir stadyumda iki maçta sırasıyla $3 \cdot 10^5$ ve $1 \cdot 10^5$ taraftar gelmiştir. İki maçta toplam gelen taraftar sayısı kaçtır?

Çözüm

$3 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^5 = 4 \cdot 10^5$

Soru 9 Cevap: A

Bir ülkede yılda $6 \cdot 10^7$ ton buğday, başka bir ülkede $4 \cdot 10^7$ ton buğday üretilmektedir. İki ülkenin yıllık buğday üretim farkı kaç tondur?

Çözüm

$6 \cdot 10^7 - 4 \cdot 10^7 = 2 \cdot 10^7$

Soru 10 Cevap: A

Bir şehirde $5 \cdot 10^6$ litre su arıtılmakta, bunun $2 \cdot 10^6$ litresi sanayide kullanılmaktadır. Geriye kullanılabilir su miktarı kaç litredir?

Çözüm

$5 \cdot 10^6 - 2 \cdot 10^6 = 3 \cdot 10^6$

Soru 11 Cevap: A

Bir banknot basımında $8 \cdot 10^9$ adet 100 TL ve $6 \cdot 10^9$ adet 200 TL banknot basılmıştır. Toplam banknot sayısı kaçtır?

Çözüm

$8 \cdot 10^9 + 6 \cdot 10^9 = 14 \cdot 10^9$

Soru 12 Cevap: A

Bir gözlemevinde $1,5 \cdot 10^8$ km uzaklıktaki bir gök cismi ile $7 \cdot 10^7$ km uzaklıktaki başka bir gök cismi arasındaki uzaklık farkı kaç km'dir?

Çözüm

$1,5 \cdot 10^8 = 15 \cdot 10^7$; $15 \cdot 10^7 - 7 \cdot 10^7 = 8 \cdot 10^7$

Cevap Anahtarı — Test 2

1.A

2.A

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

11.A

12.A

16 Test 3 — Beceri Temelli Sorular (12 Soru)

Bu testte her soru, gerçek hayat bağlamı içinde kuralı kullanmanı gerektirir. Klasik soru yoktur.

Soru 1 Cevap: A

Bir araştırma hastanesindeki iki laboratuvar, iki farklı çalışmada kırmızı kan hücresi sayımlarını raporlamıştır. Birinci laboratuvar $2,4 \cdot 10^6$ /mm³, ikinci laboratuvar $1,1 \cdot 10^6$ /mm³ hücre bulmuştur. İki laboratuvarın bulduğu toplam hücre sayısı kaç /mm³'tür?

Çözüm

Aynı taban ve üs: $2,4 \cdot 10^6 + 1,1 \cdot 10^6 = 3,5 \cdot 10^6$

Soru 2 Cevap: A

Türkiye'nin iki büyük şehrinin nüfusları yaklaşık olarak $1,6 \cdot 10^7$ ve $5,6 \cdot 10^6$ kişidir. Bu iki şehrin toplam nüfusu yaklaşık kaçtır?

Çözüm

$1,6 \cdot 10^7 = 16 \cdot 10^6$; $16 \cdot 10^6 + 5,6 \cdot 10^6 = 21,6 \cdot 10^6 = 2,16 \cdot 10^7$

Soru 3 Cevap: A

Bir bulut depolama merkezinde iki sunucu bulunmaktadır. Birinci sunucunun kapasitesi $4 \cdot 10^{12}$ bayt, ikinci sunucunun kapasitesi $6 \cdot 10^{11}$ bayttır. İkinci sunucunun kapasitesi birinci sunucudan kaç bayt azdır?

Çözüm

$4 \cdot 10^{12} = 40 \cdot 10^{11}$; $40 \cdot 10^{11} - 6 \cdot 10^{11} = 34 \cdot 10^{11} = 3,4 \cdot 10^{12}$

Soru 4 Cevap: A

Bir uzay aracı Dünya'dan Ay'a ulaşmak için $3,8 \cdot 10^5$ km, Ay çevresinde yön değiştirmek için $5 \cdot 10^4$ km yol almıştır. Uzay aracının kat ettiği toplam yol kaç km'dir?

Çözüm

$3,8 \cdot 10^5 = 38 \cdot 10^4$; $38 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^4 = 43 \cdot 10^4 = 4,3 \cdot 10^5$

Soru 5 Cevap: A

Bir belediyenin yıllık bütçesi $2,4 \cdot 10^9$ TL'dir. Eğitim harcamaları $7 \cdot 10^8$ TL, altyapı harcamaları $5 \cdot 10^8$ TL'dir. Geriye kalan bütçe kaç TL'dir?

Çözüm

$2,4 \cdot 10^9 = 24 \cdot 10^8$; eğitim+altyapı $= 12 \cdot 10^8$; kalan $= 24 \cdot 10^8 - 12 \cdot 10^8 = 12 \cdot 10^8 = 1,2 \cdot 10^9$

Soru 6 Cevap: A

Bir çevre düzenleme projesinde kullanılmak üzere iki farklı bölgeden toprak alınmıştır. Birinci bölgeden $3 \cdot 10^6$ ton, ikinci bölgeden $2,5 \cdot 10^5$ ton toprak taşınmıştır. İki bölgeden toplam kaç ton toprak taşınmıştır?

Çözüm

$3 \cdot 10^6 = 30 \cdot 10^5$; $30 \cdot 10^5 + 2,5 \cdot 10^5 = 32,5 \cdot 10^5 = 3,25 \cdot 10^6$

Soru 7 Cevap: A

Bir elektrik dağıtım şirketi iki farklı bölgeye enerji sağlamaktadır. Birinci bölge $9 \cdot 10^7$ kWh, ikinci bölge $4,5 \cdot 10^7$ kWh enerji tüketmiştir. Birinci bölge ikinci bölgeden ne kadar fazla enerji tüketmiştir?

Çözüm

$9 \cdot 10^7 - 4,5 \cdot 10^7 = 4,5 \cdot 10^7$

Soru 8 Cevap: A

Bir kütüphanedeki iki arşivde saklanan mikrofilm sayıları $5 \cdot 10^5$ ve $8 \cdot 10^4$'tür. İkinci arşivdeki mikrofilm sayısı birinci arşivden kaç eksiktir?

Çözüm

$5 \cdot 10^5 = 50 \cdot 10^4$; $50 \cdot 10^4 - 8 \cdot 10^4 = 42 \cdot 10^4 = 4,2 \cdot 10^5$

Soru 9 Cevap: A

Bir gökdelenin inşaatında kullanılan çelik miktarı $2 \cdot 10^7$ kg, beton miktarı $7 \cdot 10^7$ kg'dır. Toplam inşaat malzemesi kaç kg'dır?

Çözüm

$2 \cdot 10^7 + 7 \cdot 10^7 = 9 \cdot 10^7$

Soru 10 Cevap: A

Bir dijital oyun arşivinde $1,2 \cdot 10^9$ adet karakter verisi ve $3 \cdot 10^8$ adet ses verisi bulunmaktadır. Toplam veri kaç adettir?

Çözüm

$1,2 \cdot 10^9 = 12 \cdot 10^8$; $12 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^8 = 15 \cdot 10^8 = 1,5 \cdot 10^9$

Soru 11 Cevap: A

Bir uzay teleskobu iki farklı yıldız sisteminden gelen ışık sinyallerini kaydetmiştir. Birinci sinyal $6 \cdot 10^9$ birim, ikinci sinyal $2,8 \cdot 10^9$ birim yoğunluğundadır. İki sinyalin toplam yoğunluğu kaç birimdir?

Çözüm

$6 \cdot 10^9 + 2,8 \cdot 10^9 = 8,8 \cdot 10^9$

Soru 12 Cevap: A

Bir fabrikada üretilen iki farklı ürünün yıllık üretim adetleri $4 \cdot 10^6$ ve $1,5 \cdot 10^5$'tir. İkinci ürünün üretimi birinci üründen kaç adet azdır?

Çözüm

$4 \cdot 10^6 = 40 \cdot 10^5$; $40 \cdot 10^5 - 1,5 \cdot 10^5 = 38,5 \cdot 10^5 = 3,85 \cdot 10^6$

Cevap Anahtarı — Test 3

1.A

2.A

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

11.A

12.A